Hiperboloides. Definición y generación
El hiperboloide es una superficie engendrada por el desplazamiento de una elipse de manera que los extremos de sus ejes principales se mueven uniformemente sobre dos hipérbolas dispuestas ortogonalmente entre sí. Cuenta con tres ejes y tres planos de simetría, que concurren en el centro de simetría del hiperboloide.
Si las dos hipérbolas son iguales dan lugar a los hiperboloides de revolución, que también podrían obtenerse por la rotación de una hipérbola alrededor de un eje. Si ese eje coincide con el eje real de la hipérbola obtenemos un hiperboloide de dos hojas o hiperboloide elíptico. Si coincide con el eje imaginario de la hipérbola obtenemos un hiperboloide de una hoja o hiperboloide hiperbólico. Ambas son superficies cuádricas de doble curvatura.
Cada una de las hojas del hiperboloide elíptico son lo que se denomina superficie sinclásticas, con la curvatura en el mismo sentido para las dos direcciones principales en cualquier punto de la superficie. Su curvatura de Gauss es positiva y el plano tangente toca a la curva en ese único punto.
El hiperboloide hiperbólico, por contra, es una superficie anticlástica, es decir con curvaturas opuestas para sus dos direcciones principales en un punto dado. Su curvatura de Gauss negativa y el plano tangente en ese punto corta a la superficie según dos rectas. Además es, a diferencia del anterior una superficie reglada, lo que ha sido sumamente importante en edificación. Por esta razón también se le conoce como hiperboloide reglado.

Generación del hiperboloide por revolución de una recta
Si las dos hipérbolas directrices son iguales, la elipse generatriz se convierte en una circunferencia y nos hallamos entonces con los hiperboloides de revolución, que pueden generarse por la revolución de la hipérbola en torno al eje, real o imaginario, de la misma.
El hiperboloide de revolución de una hoja se conoce también, como ya se ha dicho, como hiperboloide reglado, por ser una superficie que también puede obtenerse por la rotación de una recta respecto a un eje con el que se cruza. Esta rotación da lugar a una familia de generatrices rectas; contando el hiperboloide con dos familias de este tipo, como puede verse en las figuras. Por cada punto del hiperboloide pasan pues dos rectas, que pueden entenderse como generatrices y directrices del mismo, como se verá a continuación. Estas dos rectas definen además el plano tangente al hiperbolide en ese punto, plano que corta a la superficie como ya se ha dicho.

Generación del hiperboloide a partir de tres directrices rectas
El hiperboloide de una hoja, sea o no de revolución, es pues una superficie reglada.
De hecho el hiperboloide es una reglada muy singular por ser la única reglada (salvo el paraboloide hiperbólico, caso particular de este hiperboloide) triaxial. Es decir, con tres directrices rectas.
El hiperboloide reglado puede, en efecto, obtenerse apoyando generatrices rectas sobre tres directrices que se crucen en el espacio. Se obtienen de esta manera dos familias de rectas, generatrices y directrices, intercambiables entre sí. Por cada punto del hiperboloide, como queda dicho, pasan dos de estas rectas, una de cada familia.
La manera de obtener generatrices del hiperboloide una vez conocidas sus directrices es muy sencilla. Basta con tomar puntos de una de las directrices (por ejemplo los puntos B1, B2 y B3 de la directriz B) e ir obteniendo los planos definidos por cada uno de estos puntos con otra de las directrices, por ejemplo A.
Las intersecciones de estos planos con la tercera directriz C nos proporcionan una serie de puntos C1, C2, C3.. que unidos con los correspondientes B1, B2, B3.. nos van dando generatrices del hiperboloide.